TRİGONOMETRİ
Yönlü Açı :
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.
Açı Ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60 , 1= 60
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.
Esas Ölçü :
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2 ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.
Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.
x0 = cos , y0 = sin
Sonuç :
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1 cos 1 veya cos : R [-1,1] dir.
Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;
-1 sin 1 veya sin : R [-1,1] dir.
Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cos ve y0 = sin olduğuna göre; cos2 + sin2= 1 dir.
Açının tanjantı ve kotanjantı :
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tan dir.
Sonuç :
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;
T={ IR ve /2 +k, k Z } için tan : T R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (/2 +k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
K={ IR ve k, k Z } için cot : K R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
BİRİM ÇEMBER :
Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
-1 Cos 1
-1 Sin 1
OAP üçgeninde ; Cos = |OA| = Cos ( +k2 ) ve Sin = |AP| =|OB|= Sin ( +k2 )
x ekseni, Cosinüs ekseni
y ekseni , Sinüs eksenidir.
Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri
Peiyodik Fonksiyonlar :
:AB bir fonksiyon olsun. x A için (x+T) =(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle;
k Z olmak üzere IR için;
cos( + k.2) = cos ve sin( + k.2) = sin olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu k.2 ve esas periyodu 2 dir.
Aynı şekilde;
k Z olmak üzere /2 +k ve IR için tan( + k.) = tan
k Z olmak üzere k ve IR için cot( + k.) = cot olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k. ve esas periyodu dir.
*** ve
m tek ise m çift ise
*** ve ,
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:
ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar
Cos = = Sin Sin = = Cos
Tan = = Cot Cot = = Tan
Sec = = Csc Csc = = Sec
30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları
ABC eşkenar üçgeninde; IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak üzere ;
AHC üçgeninde;
Cos60o = = Sin30o
Sin60o = = Cos30o
Tan60o = = Cot30o
Cot60o = = =Tan30o
ABC ikizkenar dik üçgeninde ;
Sin45o =Cos45o = =
Tan45o = Cot45o = 1
açı 0 30 45 60 90 180 270 360
sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 0 -1 0
cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 -1 0 1
tan 0 1/3 1 3 tanımsız 0 tanımsız 0
cot tanımsız 3 1 1/3 0 tanımsız 0 tanımsız
TRİGONOMETRİK FORMÜLLER
Trigonometrik bağıntılar
1) Cos2 +Sin2 = 1
2) Tan =
3) Cot =
4) Sec =
5) Csc =
6) Tan Cot = 1
7) 1 + Tan2 = Sec2
8) 1 + Cot2 = Csc2
Trigonometrik özdeşlikler
Sin( - ) = Cos Sin( + ) = Cos
Cos( - ) = Sin Cos( + ) = -Sin
Tan( - ) = Cot Tan( + ) = -Cot
Cot( - ) = Tan Cot( + ) = -Tan
Sin( - ) = -Cos Sin( + ) = -Cos
Cos( - ) = -Sin Cos( + ) = Sin
Tan( - ) = Cot Tan( + ) = -Cot
Cot( - ) = Tan Cot( + ) = -Tan
Sin( - ) = Sin Sin( + ) = -Sin
Cos( - ) = -Cos Cos( + ) = -Cos
Tan( - ) = -Tan Tan( + ) = Tan
Cot( - ) = -Cot Cot( + ) = Cot
Sin( 2 - ) = Sin(- ) = -Sin
Cos( 2 - ) = Cos(- ) =Cos
Tan( 2 - ) = Tan(- ) = -Tan
Cot( 2 - ) = Cot(- ) = -Cot
Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri
de :
Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA
Sinüs teoremi : = =
Tanjant teoremi : dir.
A( ) = .a.b.SinC
A( ) = u.r (a+b+c=2u olmak üzere)
A( ) =
Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi :
Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :
Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :
Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :
Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :
Toplam fark formülleri
1) Sin( + ) = Sin Cos ± Sin Cos
2) Cos( + ) = Cos Cos ± Sin Sin
3) Tan( + ) =
Yarım açı formülleri
1) Sin2 = 2Sin Cos
2) Cos2 = Cos2 - Sin2 = 2Cos2 - 1 = 1 - 2Sin2
3) Tan2 =
Not :
Dönüşüm formülleri
1) Sin + Sin = 2Sin .Cos
2) Sin - Sin = 2Sin .Cos
3) Cos + Cos = 2Cos .Cos
4) Cos - Cos = 2Sin .Sin
Bir üçgenin açılarının, sinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
Bir üçgenin açılarının, cosinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
Ters trigonometrik fonksiyonlar :
Arcsin Fonksiyonu :
Arccos Fonksiyonu :
Arctan Fonksiyonu :
Arccot Fonksiyonu :
Trigonometrik denklemler:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kök formülleri :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Trigonometrik Denklemleri :
a[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü ise, Ç={xx=+2k veya x= - +2k, kZ} olur.
Örnek:
Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
Örnek :
Cosx=2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 2/2 olan gerçek sayılar /4 ve -/4 olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
a[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü ise, Ç={xx=+2k veya x= ( - ) +2k, kZ} olur.
Örnek:
sinx=3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
Örnek :
sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=k, kZ} olarak bulunur.
aR için tanx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek:
tanx=3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve /3 + olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+k, kZ} olarak bulunur.
aR için cotx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek :
Örnek :
cosx+3sinx=0 denklemini çözün.
olur. Buradan çözüm kümesi;
Ç={x: }
"Açı Ölçü Birimleri neler?, Açının tanjantı ve kotanjantı, matematik ödevi:trigonometri formülleri, Trigonometrik Fonksiyonlar" bitti..